モンティホール問題

皆さんはモンティホール問題を知っていますか？

モンティホール問題とは数学の確率分野において、初見ではほとんどの人が騙される有名な問題です。

では実際に問題を見ていきましょう!

3つの扉がある。１つの扉は正解の扉であり、残り二つの扉は不正解の扉である。挑戦者は３つの中から扉を１つ選ぶ。司会者は正解を知っており、挑戦者は選んだ扉以外の２の扉の中で不正解の扉を１つ選んで開ける。その後、挑戦者は司会者が開けた扉以外の２つの扉の中から好きな方を選べる。このとき扉を変えるべきか？

この問題を見た時、「変えても変えなくても確率は変わらない。」と思う人がいるはずです。その考えの

プロセスとして、このように考えているのではないでしょうか？

挑戦者が最初に扉を選んだとしましょう。そうしたら、司会者は挑戦者が選んでいないかつ不正解の扉を１つ開けます。挑戦者目線では、不正解の扉が分かったため、正解と扉１つと不正解の扉１つの確率になります。つまり変えても変えなくても1/2になるため変える必要はない。

しかしこの回答は間違えです。

では実際の正解を解説していきます。

まずは、扉を３つの扉をA,B,Cとして、挑戦者がAの扉を選ぶ前提で考えていきましょう。

図より正解の扉がAである場合は、変えない方がいいと分かります。つまり変えない方がよい事象(場合になる確率)は1/6+1/6=1/3です。(正解Aと司会者B、正解Aと司会者Cのパターンの和)

正解の扉がB、Cの場合、変えた方がよいです。つまり変えた方がよい事象(場合になる確率)は1/3+1/3=2/3です。(正解Bと司会者C、正解Cと司会者Bのパターンの和)

1/3と2/3を比べたら、もちろん2/3の方が大きいです。

つまり、正解の扉がAである場合よりも正解の扉がB、Cの場合の事象になる割合が高く、これは、変えない方がよいパターンより変えた方がよいパターンになる確率が高いということです。

ということで変えた方がよいが答えになります。

(小高)

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